Jako trener pięciokrotnie osiągnął mistrzostwo Polski w piłce nożnej z zespołem kobiecym RTP Unia Racibórz.

Remigiusz Trawiński jest właścicielem założonej przez siebie (wraz ze wspólnikiem) firmy Bruki Trawiński. Firma działa od 1 marca 1988 roku i jest wykonawcą dróg, placów, chodników, itp. Wśród wykonanych robót znajduje się między innymi ułożona z kostki brukowej płyta raciborskiego rynku.

Jako piłkarz Trawiński nie osiągnął większych sukcesów. Mieszkając w Opolu uzyskał uprawnienia trenerskie. Na początku zajmował się szkoleniem trampkarzy z LZS-u Dębska Kuźnia. Później prowadził LKS 07 Markowice, LZS Grzegorzowice oraz KP Unię Racibórz. Od 2000 roku prowadzi kobiecą drużynę Unii, do której powstania się przyczynił. Jego firma jest sponsorem zespołu. Od sezonu 2007/2008 zespół występuje w Ekstralidze, a w kolejnych pięciu sezonach sięgnął po mistrzostwo Polski. Na koncie sukcesów drużyna posiada również trzykrotnie zdobyty Puchar Polski oraz trzykrotne halowe mistrzostwo kraju.

Prywatnie jest żonaty, ma dwie córki - Magdalenę i Ewę.